Onvolledig verleden tijd

Aan het einde van de negentiende eeuw heerste er een zeker optimisme in de exacte wetenschappen. Er waren weliswaar nog wat onopgeloste problemen, maar veel wetenschappers waren ervan overtuigd dat het een kwestie van niet heel veel tijd (en beter instrumentarium) was voordat we álles zouden weten.

Honderd jaar geleden, rond 1920, lag dat gevoel voor wat betreft de natuurkunde wel aan duigen. Einstein had de relativiteitstheorie uitgewerkt en de de bouwstenen voor de zogenaamde kwantentheorie aangedragen. Daarmee zou in de loop van het derde decennium de kwantummechanica worden opgebouwd. Het idee dat het heelal er altijd en eeuwig was geweest en zou zijn, was ook al op weg naar de schroothoop.

In de wiskunde daarentegen heerste nog het optimisme. De grootmeester van dat vakgebied, de Duitser David Hilbert formuleerde het ‘programma’ dat zijn naam zou gaan dragen. Dat Hilbert-programma had tot doel om (populair gezegd) de wiskunde volmaakt te maken. Daarvoor was het nodig dat er werd aangetoond dat de wiskunde volledig was, en consistent. Volledig wilde zeggen dat iedere ‘uitspraak’ die redelijkerwijs tot het domein van de wiskunde behoorde, ook in de wiskunde onderbouwd kon worden. En consistent betekende dat er in de wiskunde geen uitspraken mochten voorkomen die met elkaar in tegenspraak waren.1

Het klinkt niet onredelijk. Als je een bouwdoos krijgt van, ik noem maar wat, een Scandinavisch woonwarenhuis of voor mijn part een Scandinavische speelgoedfabrikant, dan hoop je ook dat het kloppend en compleet is.

Maar de wiskunde is geen voorgebakken bouwdoos. Ook daar waren aan het begin van de twintigste eeuw nog een flink aantal blinde vlekken. De wiskundige filosofen Alfred North Whitehead en Bertrand Russel begonnen daarom in 1910 met de publicatie van de Principia Mathematica, vaak eenvoudig afgekort als PM. De PM moest een compleet én consistent overzicht worden van alles wat er in de wiskunde bekend was en nog bekend zou worden, of nog wat populairder gezegd: de bouwinstructie voor de complete wiskundige boekenkast die een eind moest maken aan álle bouwinstructies.

In 1931 gooide de 25-jarige Oostenrijkse logicus Kurt Gödel alle glazen in. Hij publiceerde in dat jaar zijn onvolledigheidsstelling, in een artikel met de titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Wat Gödel in dat artikel liet zien was dat de wiskunde niet, nooit, compleet kan zijn als de eis is dat ze ook consistent is. Hij toont aan dat er uitspraken zijn die evident waar zijn, maar tot inconsitenties leiden als je ze opneemt in het systeem.

Het is alsof je een stuk gereedschap vindt dat zonneklaar bedoeld is om meubels in elkaar te zetten, maar dat, als je het op je nog in elkaar te zetten meubel zou loslaten, tot onherstelbare schade zou leiden.

*

Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, 1979

Ik las voor het eerst over Gödel in het boek Gödel, Escher, Bach (GEB) dat Douglas Hofstadter in 1979 publiceerde. Dat boek zou er mede toe leiden dat m’n verlangen om sterrenkunde te gaan studeren verschoof naar de grondslagen van de natuurwetenschapen. Ik vond het fascinerend.

In de zeer uitgebreide bibliografie van GEB geeft Hofstadter een paar titels een ereplaats. Eén daarvan is het boekje Gödel’s Proof van Ernest Nagel en James R. Newman uit 1958. Het is een vereenvoudiging van het artikel van Gödel, hoewel nog altijd behoorlijk technisch.

Hoe ik er ooit aan kwam leverde op zichzelf al een Gödeliaanse vertelling op, maar die ga ik hier nu niet doen (het was mijn bijdrage aan de bundel verslagen van een studiereis naar Engeland). Ik besloot het te gebruiken voor een studentencolloquium dat bij mijn toenmalige afstudeergroep werd gehouden. Ik begon er vol goede moed aan, maar naarmate ik vorderde zakte de moed me steeds verder in de schoenen. Op pagina 92 liep ik vast.

Ernest Nagel & James R. Newman, Gödel’s Proof, 1958

Ik denk dat ik er een middag over heb gedaan, alsmaar terug bladerend en herlezend, om te begrijpen wat daar stond. Ik greep terug op GEB, maar dat boek is ruim 700 pagina’s dik, en ik kon me niet echt herinneren dat dit punt daar zo’n belangrijke rol speelde. Nee, ik moest het hebben van Nagel en Newman. Nog maar weer een keer erdoorheen…

En toen ineens viel het kwartje.

Het was misschien wel een van de mooiste kwartjes in mijn leven. Niet alleen begreep ik ineens wat de crux was van Gödels redenering, ik begreep ook voor het eerst hoe het voelt om iets écht te begrijpen, te doorzíén. Epifanie. Dit was het dus.

Nu kwam het eropaan om mijn moment van epifanie te vertalen naar een begrijpelijke presentatie van een uur. Ik deed een oefenpraatje met een studievriend en samen schaafden we nog behoorlijk aan de opbouw.

Mijn publiek was, vrees ik, iets minder enthousiast dan ik. Bovendien struikelden de meesten al over hordes waar ik in volle vaart moeiteloos overheen vloog op weg naar míjn finish. De arrogantie van de topatleet die geen tijd heeft voor de amateurlopers…

Maar na afloop kwam de emeritus hoogleraar, die ook in het publiek had gezeten, nog even naar me toe. “Dat was een heel goed praatje,” zei hij. “Ik heb eigenlijk nooit echt helemaal begrepen waarom dat ene punt zo belangrijk was. Dat heb je heel goed gezien en uitgelegd. Dank je.” Dat was een van de fijnste complimenten die ik kon krijgen. Ik heb het opgeborgen in het doosje waar dat kwartje al in zat. Daar zat trouwens ook al een complimentje in van een docent wiskunde, begeleider op die studiereis naar Engeland, die mijn verhaal over het verkrijgen van het boekje vergeleek met GEB…

*

Met mijn studie in de grondslagen is het niet echt goed afgelopen. Met Kurt Gödel trouwens ook niet. Aan het eind van zijn leven verzonk hij in waanideeën, waardoor hij onder andere het idee kreeg dat ‘men’ hem wilde vergiftigen. Toen zijn vrouw, de enige van wie hij eten wilde accepteren, eind 1977 langdurig in het ziekenhuis belandde, hongerde Gödel zich dood.

Maar zijn nalatenschap is groot. Naar aanleiding van Gödels artikel ontwikkelde de Engelse wiskundige Alan Turing (met wie het trouwens ook niet zo best afliep) na 1935 zijn ideeën over computers, die nog altijd de basis zijn van de huidige informatietechnologie.

Gödel was ook de inspiratie voor de al genoemde Douglas Hofstadter. Zijn Gödel, Escher, Bach vind ik nog altijd één van de meest creatieve en inspirerende boeken die ik ken. Nagel en Newman zijn misschien niet zo geschikt voor lezers zonder enige scholing in formeel-logsiche systemen, Hofstadter is zeker toegankelijk voor iedereen die niet te bang is om de hersens een beetje te laten kraken.

Noten

  1. Ik simplificeer hier enigszins, zoals ik ook in het vervolg van dit stuk zal doen, omwille van de overzichtelijkheid. Feitelijk gaat het niet over ‘de’ wiskunde, maar over formeel-logische systemen die krachtig genoeg zijn om er de natuurlijke getallen mee te beschrijven. Maar als ik ga uitleggen wat daarmee wordt bedoeld wordt dit een heel andere blog…